LECCIÓN 3.- RADICACIÓN
5 febrero, 2019
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LECCIÓN 11.- GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO COMPLETO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad del método de trabajo de lo que se llama Geometría mediante análisis algebraico. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como “Geometría analítica”, apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos “paradójicamente” porque se usa precisamente el término “geometría cartesiana” para aquello que el propio Descartes bautizó como “geometría analítica”). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.

Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis. La geometría analítica es una rama de la matemática que estudia con profundidad las figuras sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos de división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo para saber con detalle todos los datos que tienen las figuras geométricas. La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de la matemática y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

 FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

  1. Dado el lugar geométrico de un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
  2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica. Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema. Podemos decir entonces que: La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Los primeros grabados sobre la geometría se remontan a la época de los cavernícolas, cuando se descubrió obtusos triángulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.

Los principios de la geometría eran una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías. Entre estos principios, destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la matemática moderna o para un matemático le pueden resultar difícil de obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del teorema de Pitágoras aproximadamente 1500 años antes que Pitágoras; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada; los babilonios disponían de tablas de trigonometría.

PRECURSORES, PIONEROS Y CREADOR

A la hora de establecer el origen de la geometría analítica aún existen muchas discusiones entre los matemáticos e historiadores pues unos atribuyen su paternidad a un científico y otros lo hacen a otro diferente. No obstante, lo que sí es cierto e indiscutible es que existen tres figuras históricas que fueron los primeros en utilizarla y desarrollarla de una u otra forma. Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131). Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre demostraciones de álgebra.

De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podría haber “bebido” el científico francés René Descartes (1596 – 1650) que es otra de las figuras clave en el origen de la geometría analítica y es que muchos autores dictaminan que él es el padre de la misma. Así, entre sus principales aportaciones se encontrarían los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos más influyentes está, por ejemplo, La Geometría. Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), también conocido como Eric Temple Bell. Este está considerado como el descubridor del principio fundamental de la geometría analítica y ha pasado a la historia no sólo por este sino también por su teoría de los números.

CONTENIDO MÍNIMO DEL CURSO

01: COORDENADAS RECTANGULARES

02: ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS

03: LA LINEA RECTA

04: LA CIRCUNFERENCIA

05: SECCIONES CONICAS-LA PARABOLA

06: LA ELIPSE

07: LA HIPERBOLA

08: TRANSFORMACION DE COORDENADAS

09: COORDENADAS POLARES

10: TANGENTES Y NORMALES

11: CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR

12: INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

13: EL PLANO

14: LA RECTA EN EL ESPACIO

15: SUPERFICIES

16: OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

 BIBLIOGRAFÍA DEL CURSO

Hemos escogido una selección de libros para un curso completo de Geometría Analítica, esperamos que los dicentes, así como los estudiosos de esta temática, obtengan el mejor provecho de los mismos.

LIBRO A

LIBRO B

LIBRO C

LIBRO D

LIBRO E

LIBRO F

″La única compensación que espero de ti como maestro, sería el éxito futuro en tu vida terrenal y tu inserción de forma humana y solidaria en la sociedad.  El presente y futuro les corresponde a las personas que abrevan en la fuente del conocimiento″. Maestro Nicolás Madé Serrano

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